Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA₁=2，AC=1，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若点P线段BN上，且三棱锥P-AMN的体积，求的值．

Answer

（Ⅰ）证明：MN∥平面ACC1A1，设AC的中点为D，连接DN，A1D，只需证明A1D∥MN即可；
（Ⅱ）通过三棱锥P-AMN的体积，利用棱柱的高，求出△APN的面积，再利用面积的比求的值．
【解析】
（I）证明：设AC的中点为D，连接DN，A1D．
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴（2分）
，
∴，
∴四边形A1DNM是平行四边形
∴A1D∥MN（4分）
∵A1D⊂平面ACC1A1，
MN⊄平面ACC1A1∴MN∥平面ACC1A1（6分）

（II）∵
又M到底面ABC的距离：AA1=2
∴（8分）
∵N为BC中点∴（9分）
∵（11分）
此时．（12分）