Question

数列{a_n}的前n项和记为A_n，a₁=1，a_n+1=2A_n+1（n≥1）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求B_n的表达式；
（III）若数列{c_n}中（n≥2），求数列{c_n}的前n项和S_n的表达式．

Answer

（Ⅰ） 由an+1=2An+1可得  an=2An-1+1（n≥2），推出an+1=3an（n≥2），判断{an}是首项为1，公比为3得等比数列求出通项公式．
（Ⅱ）设{bn}的公差为d，由 B3=15，得b2=5，利用a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，解得 d1=2，然后求出等差数列{bn}的前n项和为Bn．
（ III）利用（Ⅱ）求出（n≥2），推出（n≥1），利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Sn的表达式．
（本题14分）
【解析】
（Ⅰ） 由an+1=2An+1可得  an=2An-1+1（n≥2），
两式相减得an+1-an=2an，于是an+1=3an（n≥2），
又 a2=2A1+1=3∴a2=3a1，
故{an}是首项为1，公比为3得等比数列，∴…（4分）
（Ⅱ）设{bn}的公差为d，由 B3=15，可得b1+b2+b3=15，得b2=5，
故可设 b1=5-d，b3=5+d又a1=1，a2=3，a3=9，
由题意可得 （5-d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得 d1=2，d2=-10，
∵等差数列{bn}的各项为正，
∴d＞0，于是d=2，
∴；         …（8分）
（ III）∵（n≥2），
∴（n≥2），
∴（n≥1），①
于是，②
两式相减得：
∴．          …（14分）