Question

已知圆的圆心C在直线y=-2x上，且与直线x+y-1=0相切于点A（2，-1）
（1）求圆C的方程
（2）经过点B（8，-3）的一束光线射到T（t，0）后被x轴反射，反射光线与圆C有公共点，求实数t的取值范围．

Answer

（1）设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，可得圆心C（a，b），把圆心C坐标代入y=-2x得到关于a与b的方程，再由切点A在圆上，把A的坐标代入所设的圆C方程，得到一个关系式，再由切线的性质可得直线AO与切线垂直，由切线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得出关于a与b的另一个方程，把两个关于a与b的方程联立组成方程组，求出方程的解集得到a与b的值，再把求出的a与b的值代入关系式中求出r2，即可确定出圆C的方程；
（2）求出B关系x轴的对称点B′，设反射线方程的斜率为k，表示出反射线的方程，记作（ξ），当该直线与圆C相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的两个值，可得出光的反射线与圆C有公共点时k的范围，把反射点T的坐标代入（ξ）中，用k表示出t，根据此时函数为增函数，由k的范围即可求出t的范围．
【解析】
（1）设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
根据题意得：，
解得：，
则圆C的方程为（x-1）2+（y+2）2=2；
（2）易知点B（8，-3）关于x轴的对称点为B′（8，3），
则设光的反射线方程为y-3=k（x-8），即kx-y+3-8k=0（ξ），
若该直线与圆C相切，则有=，
解得：k=1或k=，
则当光的反射线与圆有公共点时，k∈[，1]，
将T（t，0）代入（ξ）中得：t=8-，
该函数在[，1]上是增函数，
则实数t的范围是[，5]．