Question

若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是    ．

Answer

对（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简整理得b2-bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，
则=2cosC，即=2，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．
【解析】
∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc
∴（b+c）2-a2=3bc
b2+2bc+c2-a2=3bc
b2-bc+c2=a2
根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA
∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=
∴A=60°
又由sinA=2sinBcosC，
则=2cosC，即=2，
化简可得，b2=c2，
即b=c，
∴△ABC是等边三角形
故答案为等边三角形．