Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），判断方程f（x）=在区间（x₁，x₂） 内是否有实根，并说明理由；
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]时有f（2^x）＞0，求a的取值范围；
（3）若a＞b＞c且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有两个相异交点，并求两交点间距离的取值范围．

Answer

（1）令g（x）=f（x）-，则可得 g（x1）•g（x2）=-＜0，再由g（x）得图象是连续的，可得g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，即 f（x）- 在区间（x1，x2） 内必有实数根．
（2）由题意可得 a＞--在区间（-∞，1]上恒成立，函数t=--在区间（-∞，1]上是增函数，故当x=1时，函数t有最大值为-，故有a＞-，且a≠0．
（3）根据二次函数f（x）=ax2+bx+c的判别式△大于零，f（x）的图象与x轴有两个相异交点，由条件求得-2＜＜-，再由根与系数的关系求出|x1-x2|= 的范围，即为所求．
【解析】
（1）令g（x）=f（x）-，则 g（x1）=f（x1）-=-，g（x2）=f（x2）-=，
∴g（x1）•g（x2）=-＜0．
再由g（x）得图象是连续的，可得g（x）在区间（x1，x2） 内必有零点，即 f（x）- 在区间（x1，x2） 内必有实数根．
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]时有f（2x）＞0，故a4x+2x-1＞0在区间（-∞，1]上恒成立，即a＞--在区间（-∞，1]上恒成立．
而函数t=--在区间（-∞，1]上是增函数，故当x=1时，函数t有最大值为-，∴a＞-，且a≠0．
故a的取值范围是（-，0）∪（0，+∞）．
（3）证明：∵a＞b＞c且f（1）=0，∴a-b-c=0，a＞0，c＜0，∴判别式△=b2-4ac=（a-c）2＞0，
f（x）的图象与x轴有两个相异交点，设f（x）=0的两个根分别为 x1 和 x2，则 x1+x2=-，x1x2=．
又由上可得 a＞-a-c，＜-1-＜1，故有-2＜＜-．
|x1-x2|====1-．
再由  ＜1-＜3，可得 ＜|x1-x2|＜3，故两交点间距离的取值范围为（，3）．