Question

对于函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）探究函数f（x）的单调区间，并给予证明．

Answer

（1）根据题意，先求出f（x）的定义域，判断可得其定义域关于原点对称，进而将f（x）变形为，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函数的定义可得答案．
（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，对f（x1）、f（x2）做差可得，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，判断f（x1）-f（x2）的符号，可得f（x）在（0，+∞）的单调性，结合函数的奇偶性，分析可得答案．
【解析】
（1）对于函数，
必有ax-1≠0，解可得x≠0，
则函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（x）=+=，则，
又由，
所以f（x）为奇函数，
（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则，
因为0＜x1＜x2
①当0＜a＜1时，，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
②当a＞1时，，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，
因为f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
所以当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．