Question

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-，求动点P的轨迹方程．

Answer

根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理求出椭圆中的a，b的值即可．
【解析】
∵x2-y2=1，∴c=．
设|PF1|+|PF2|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2，
∴a＞
由余弦定理有cos∠F1PF2
=
=
=-1
∵|PF1||PF2|≤（）2=a2，
∴当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2．
此时cos∠F1PF2取得最小值-1，
由题意-1=-，
解得a2=3，
∴b2=a2-c2=3-2=1
∴P点的轨迹方程为+y2=1．