Question

过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q₁，设Q₁在x轴上的投影为P₁，又过P₁做曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影为P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的横坐标为a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求证数列{a_n}是等比数列．
（3）设，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意可设切点Qn（an，ank），根据导数的几何意义可求切线方程，当n=1时由切线过点P（1，0）可求a1
（2）由切线过点Pn-1（an-1，0），代入整理可得，可证
（3）由，构造函数，，由复合函数单调性可求数列{bn}的最大项与最小项，而|bM-bN|＜|bn（最大值）-bn（最小值）|，可求m
【解析】
（1）y'=-x-2，若切点是Qn（an，ank），
则切线方程为y-an-1=-an-2（x-an）．
当n=1时，切线过点P（1，0）
即0-a1-1=-a1-2（1-a1）．得．
（2）当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0）
即0-an-1=-an-2（an-1-an）．得．
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列．
∴．…（6分）
（3）
令，（8分）
由复合函数单调性可知
当时，y＜0．且单调递增．
当时，y＞0．且单调递增．
所以当，即n=2，时，b2=17为最大值
当，即n=3，时，b3=-15为最小值            （13分）
|bM-bN|＜|b3-b2|=32
所以m＞32                               …（15分）