Question

已知函数，直线 l：10x+y+c=0．
（1）求y=f′（x）．
（2）求证直线l与y=f（x）的图象不相切．
（3）若当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方，求c范围．

Answer

（1）由，能求出f′（x）．
（2）由f′（x）=（x-1）2-9≥-9，l斜率为k=-10，故直线l与y=f（x）的图象不相切．
（3）根据题意c＜对一切x∈[-1，1]都成立．令g（x）=，由g′（x）=-（x-1）2-1＜0，知g（x）在[-1，1]单调递减，由此能求出c的范围．
（1）【解析】
∵，
∴f′（x）=x2-2x-8（3分）
（2）证明：∵f′（x）=（x-1）2-9≥-9，
而直线 l：10x+y+c=0．斜率为k=-10，
∵k＜-9，
∴直线l与y=f（x）的图象不相切．…..（7分）
（3）【解析】
根据题意有-（-10x-c）＜0对一切x∈[-1，1]都成立，
即：c＜对一切x∈[-1，1]都成立，…..（10分）
令g（x）=，
∵g′（x）=-（x-1）2-1＜0，
∴g（x）在[-1，1]单调递减，…..（13分）
∴当 x∈[-1，1]时，
[g（x）]min=g（1）=-1，
∴c＜-1即c的范围为（-∞-1）．…..（15分）