Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，点（a_n，a_n+1+1）在函数f（x）=2x+1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）：将点（an，an+1+1）（n∈N*）代入函数f（x）=2x+1的解析式，整理后发现{an}是公比为2的等比数列，通项公式可求：an=2n-1
（2）由an=2n-1（n∈N*），知a1=1，q=2，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
（3）由=，知Tn=，由此利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵（an，an+1+1）（n∈N*）在函数f（x）=2x+1的图象上
则an+1+1=2an+1（n∈N*）有an+1=2an
∵a1=1，
∴an≠0，
∴
∴{an}是公比为2的等比数列，通项公式为an=2n-1（n∈N*）
（2）∵an=2n-1（n∈N*），
∴a1=1，q=2，
=2n-1．（n∈N*）．
（3）∵=，
∴Tn=，①
Tn=，②
①-②，得=
=，
∴Tn=2-．