Question

定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（3x+1）的周期为2，若f（1）=2010，则f（2009）+f（2010）的值等于（ ）
A．0
B．-2010
C．2010
D．4019

Answer

由函数f（3x+1）的周期为2，得到f[（3x+1）+6]=f（3x+1），即函数f（x）的周期为6，再结合奇函数的性质解决即可．
【解析】
∵函数f（3x+1）的周期为2，
∴f[3（x+2）+1]=f[（3x+1）+6]=f（3x+1），
∴函数f（x）的周期为6；
又函数f（x）为奇函数，f（1）=2010，
所以，f（0）=0，f（-1）=-2010，
又∵2009=334×6+5，2010=335×6，
∴f（2009）=f（5）=f（6-1）=f（-1）=-f（1）=-2010，
f（2010）=f（0）=0，
∴f（2009）+f（2010）=-2010．
故选B．