Question

已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性．

Answer

（1）由f（-x）=-f（x）可求得b=0，又f（）=，可求得，从而可求得函数f（x）的解析式；
（2）在（-1，1）上任取两个值x1，x2，且x1＜x2．再作差f（x2）-f（x1）化积，判断乘积的符号即可．
【解析】
（1）由f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴，即=0，
∴b=0，
又，代入函数得a=1．
∴．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明：在（-1，1）上任取两个值x1，x2，且x1＜x2，
则
∵-1＜x1＜x2＜1，
∴-1＜x1x2＜1；
∴1-x1x2＞0，又
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．