Question

已知f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）利用已知函数，结合f（1）=2，可求a的值；
（2）先确定函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义，即可判断；
（3）利用函数单调性的定义，判断f（x1）-f（x2）的符号时，进行分类讨论即可．
【解析】
（1）∵f（x）=x+，且f（1）=2
∴1+a=2
∴a=1…（2分）
（2）函数f（x）=x+的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x）
∴f（x）为奇函数…（4分）
（3）函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，…（5分）
则…（7分）
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
∴x1-x2＜0，且x1x2＞0
所以当x∈（0，1）时，x1x2＜1，即x1x2-1＜0，
此时f（x1）＞f（x2），f（x）为减函数…（8分）
当x∈（1，+∞）时，x1x2＞1，即x1x2-1＞0，
此时f（x1）＜f（x2），f（x）为增函数…（9分）
所以函数f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数…（10分）