Question

已知函数（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（III）若且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．

Answer

（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（-x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；
（II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（III）先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b-2）+f（2b-2）＞0转化为f（b-2）＞f（2-2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．
【解析】
（I）∵f（0）=loga1=0．
因为f（x）是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴loga+loga=0；
∴loga=0⇒=1，
即∴1-m2x2=1-x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=loga；
设
设-1＜x1＜x2＜1，则
∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0
∴t1＞t2．
 当a＞1时，logat1＞logat2，
即f（x1）＞f（x2）．
∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．
∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．
（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0
得f（b-2）＞-f（2b-2），
∵函数f（x）是奇函数
∴f（b-2）＞f（2-2b）
，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数
∴
∴
∴b的取值范围是