Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）-2x，，x∈[-1，1]，且不等式g（x）＞m恒成立，求g（x）的值域和实数m的范围．

Answer

（I）设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，，f（x+1）-f（x）=2x可求a，b，由f（0）=1可求c，进而可求f（x）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x2-3x+1=，x∈[-1，1]，结合二次函数的性质可求g（x）的最小值，由g（x）＞m恒成立，则m＜g（x）min，从而可求m的范围
【解析】
（I）设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，（2分）
f（x+1）-f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]-（ax2+bx+c）=2ax+a+b…（4分）
与已知条件比较得：
解之得，，
又f（0）=c=1，
∴f（x）=x2-x+1                   …（6分）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x2-3x+1
=，x∈[-1，1]…（8分）
当x=1时，g（x）有最小值-1，
当x=-1时，g（x）有最大值5，
∴g（x）的值域为[-1，5]；             …（10分）
∵不等式g（x）＞m恒成立，
∴m＜-1
∴实数m的范围是（-∞，-1）…（12分）