Question

已知数列{a_n}满足：，点在直线上，数列{b_n}满足：且．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（III）求{b_n}的通项公式；并探求数列{b_n}的前n和的最小值．

Answer

（I）由点在直线上，得到，所以，{an}为公差为的等差数列，由此能求出{an}的通项公式．
（II）由bn-an=，知==．且b1-a1=-30，由此能够证明数列{bn-an}是以-30为首项，为公比的等比数列．
（III）由（II）知，，所以，，采用分组求和法，可以求数列{bn}的前n和，故T3=-最小．
（I）【解析】
点在直线上，
得到（1分）
所以，{an}为公差为的等差数列，（2分）
所以，（3分）
（II）证明：∵bn-an=，
∴=
=
=
=．
∵b1-a1=-30，
∴数列{bn-an}是以-30为首项，为公比的等比数列．
（III）【解析】
由（II）知， 
所以，（8分）
采用分组求和法，可以求数列{bn}的前n和（9分）
（10分）
当n=1，2时，，
则Tn递减，即T1＞T2＞T3，
当n≥3时，，
则Tn递增，即T3＜T4＜T5＜…，
故T3=-最小．