Question

“一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

Answer

根据韦达定理，先判断出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解析】
若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，＜0，
所以ac＜0成立，
反之，若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax2+bx+c=0的△＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得此时＜0，
即方程两个根的符号相反
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根
所以“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的充要条件，
故选C