Question

设二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）求证：数列{}是等比数列；
（3）当时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得．
（2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证：数列{}是等比数列；
（3）先利用（2）求出数列{}的通项公式，即可求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）由韦达定理得：，，
由6α-2αβ+6β=3得6-=3，
故．
（2）证明：因为=an-=（），
所以，
故数列{}是公比为的等比数列；
（3）当时，数列{}的首项，
故==，
于是．an=．