Question

若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=-f（x），给出下列4个结论：
（1）f（2）=0；（2）f（x）是以4为周期的函数；（3）f（x）的图象关于直线x=0对称；（4）f（x+2）=f（-x）．其中正确命题的序号是    ．

Answer

（1）由f（x-2）=-f（x），令x=2结合，f（0）=0可求f（2）
（2）由f（x-2）=-f（x）可得f（x-4）=-f（x-2）=f（x）可求函数的周期
（3）若函数关于x=0对称，则函数f（x）为偶函数，又同时为奇函数，不满足
（4）由f（x-2）=-f（x）=f（-x）可得f（x-2+4）=f（x+2）=f（-x）
【解析】
（1）∵f（x-2）=-f（x），
∴当x=2时，f（0）=-f（2）=0且由f（x）为奇函数
∴f（2）=0故（1）正确
（2）∵f（x-2）=-f（x）
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x）
∴函数以4为周期的周期函数，故（2）正确
（3）若函数关于x=0对称，则函数f（x）为偶函数，又同时为奇函数，则f（x）=0恒成立，不成立，故（3）错误
（4）由f（x-2）=-f（x）=f（-x）可得f（x-2+4）=f（x+2）=f（-x），故（4）正确
故答案为（1）（2）（4）