Question

若关于x的方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{k|k=4，或k＜0}
B．{k|k＜0}
C．{k|k=4}
D．{k|k＜4，或k＞4}

Answer

由于k出现在真数位置，故我们可以对k分大于0，等于0，小于0三种情况进行讨论，然后利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，结合韦达定理及图解法，即可得到结论．
【解析】
若k=0，则lg（kx）无意义，此时方程lg（kx）=2lg（x+1）无实根；
①若k＞0，则方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，即
kx=（x+1）2只有一个正根，
则 ，
解得：k=4
②若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
分别作出函数y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的图象，它们始终有一个交点，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
∴k＜0符合题意．
综上满足条件的实数k的范围k＜0或k=4．
故选A．