Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（x∈R）．
（1）证明直线l与圆C相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时，直线l的方程．

Answer

（1）通过直线l转化为 直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线l与圆C相交；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出直线的方程．
【解析】
（1）将l的方程整理为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由，解得，
∴直线l过定点A（3，1）．
因为（3-2）2+（1-2）2=5＜25，
∴点A在圆C的内部，故直线l恒与圆有两个交点，
∴直线l与圆C相交．
（2）圆心C（1，2），当截得的弦长最小时，
l⊥AC，
由kAC=-，
得l的方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．