Question

已知椭圆C：与双曲线-y²=1有公共焦点，且离心率为．A，B分别是椭圆C的左顶点和右顶点．点S是椭圆C上位于x轴上方的动点．直线AS，BS分别与直线l：x=分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长MB交椭圆C于点P，若PS⊥AM，试证明MS²=MB•MP．
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在点T，使得△TSB的面积为？若存在确定点T的个数，若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据椭圆与双曲线有公共焦点，可确定椭圆的焦点，利用椭圆的离心率，即可求出椭圆的方程；
（2）引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，与椭圆方程联立，求得点S的坐标，又点B的坐标已知，从而可得，利用PS⊥AM，由射影定理可得MS2=MB•MP．
（3）线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式利用基本不等式法求最值，从而求出直线SB的方程要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题．
（1）【解析】
∵椭圆C：与双曲线-y2=1有公共焦点
∴椭圆C的焦点为，
∴，
又∵，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为．…（3分）
（2）证明：直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而
由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0
设S（x1，y1），则得，从而         …（5分）
即
又B（2，0），从而，
∴，
∴，
又因为PS⊥AM，由射影定理可得MS2=MB•MP．…（7分）
（3）【解析】
由得
∴
又k＞0，∴
当且仅当，即时等号成立
∴时，线段MN的长度取最小值
此时BS的方程为，∴       …（9分）
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，
所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．
设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．
当时，由，得5x2-12x+5=0
由于△=44＞0，故直线l'与椭圆C有两个不同的交点；
当时，由得5x2-20x+21=0，
由于△=-20＜0，故直线l'与椭圆没有交点．
综上所述，当线段MN的长度最小时，在椭圆C上仅存在两个不同的点T，使得△TSB的面积为．…（12分）