Question

已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0解出其增区间，令导数小于0解出其减区间，并列出x变化时，f'（x）
和f（x）的变化表格，由表中数据判断最值即可；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点P，使点P处的切线与直线2x+y+3=0平行，再利用由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，求得切点的坐标，结合直线的方程求出斜率等于-2的直线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2-4x，由f′（x）=0得x1=0，x2=
当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表

x -1 （-1，0） （0，） （，2） 2
f′（x）   + - +  
f（x） -2 增函数 1 减函数 - 增函数 1

由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x2-4x，
∴，即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是
∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉
∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．