Question

在坐标平面 内有一点列A_n（n=0，1，2，…），其中A（0，0），A_n（x_n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A_nA_n+1所在直线的斜率为2ⁿ（n=0，1，2，…）．
（1）求x₁，x₂
（2）求出数列{x_n}的通项公式x_n
（3）设数列{nx_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）写出A，A1，A2，通过直线的斜率直接求出求x1，x2．
（2）通过直线的斜率关系，推出，利用累加法求出数列{xn}的通项公式xn．
（3）写出数列{nxn}的前n项和为Sn，利用错位相减法直接求Sn．
【解析】
（1）A（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线AA1的斜率为2=1，
∴x1=1
直线A1A2的斜率为2，，
∴
（2）当n≥1时，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1），
∴，
累加得：，
检验当n=1时也成立，
∴
（3），令bn=2n，对应的前n项和Tn=n（n+1）令
两式相减得：
∴
∴