Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求二面角A-EC-B的余弦值．

Answer

（1）证明：根据题意建立空间坐标系，不妨设PA=PB=PC=3，即可得到有关点的坐标，设D（3，y，0），写出向量的坐标利用，可得y=-3，所以DC=2AB，连接BD，交AC于点M，则，进而得到，根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量间的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两个平面的二面角．
【解析】
（1）证明：以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．
不妨设PA=PB=PC=3，则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）．
设D（3，y，0），则，
因为CP⊥AD，
所以，解得：y=-3．
所以DC=2AB．---（3分）
连接BD，交AC于点M，则．
在△BPD中，，∴PD∥EM．-（5分）
又PD⊄平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD∥平面EAC．----（6分）
（2）设为平面EAC的一个法向量，则，
所以取z=2可得．
设为平面EBC的一个法向量，则，
又，，∴
∴可取．  （10分）
∴---（11分）
依题意得：二面角A-CE-B的余弦值为-．------（12分）