Question

已知a，b为正实数．
（1）求证：+≥a+b；
（2）利用（I）的结论求函数y=+（0＜x＜1）的最小值．

Answer

（1）先利用比较法证明a3+b3≥a2b+ab2，再将该不等式同除以ab，即证．
（2）利用（1）中的结论知y=+≥（1-x）+x=1，即y的最小值为1．
【解析】
（1）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）-（ab2-b3）
=a2（a-b）-b2（a-b）
=（a2-b2）（a-b）
=（a+b）（a-b）2．
因为a，b为正实数，所以a+b＞0，（a-b）2≥0，
所以a3+b3≥a2b+ab2
又a2b+ab2=ab（a+b），
所以即
（2）∵0＜x＜1∴1-x＞0，∴由（1）中的结论知y=+≥（1-x）+x=1，
当且仅当1-x=x即x=时，y的最小值为1．