Question

已知半球O的半径为1，它的内接长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一个面ABCD在半球O的底面上，则该长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大值为    ．

Answer

连接OA1，OA，令OA1与底面的夹角为α，则可用球的半径与α的三角函数值将棱柱的高与底面边长表示出来，由此可以将棱柱的体积表示成解α的函数，求这个三角函数的最大值即可得到该正四棱柱体积的最大值
【解析】
令球心为O，底面边长为a，连接OA1，OA，令OA1与底面的夹角为α，则OA1=1，则棱柱的高是sinα，底面正方形的对角线长的一半是cosα，即 2a=2cosα，由此得底面边长是 2cosα
故正四棱柱的体积是V=2cos2α×sinα=2cos2αsinα
V'=2（-2cosαsin2α+cos3α）=2osα（-2+3cos2α）
令V'=0，可以解得cosα=0，舍，或cos2α=23，即sin2α=13，sinα=33
由此知正四棱柱体积的最大值为V=，
故答案为：