Question

已知△ABC的三边长为三个连续的正整数，且最大角为钝角，则最长边长为    ．

Answer

先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，由∠C为钝角⇒cosC＜0，然后根据余弦定理得出c2=a2+b2-2ab•cosC＞a2+b2，得出n-1）2+n2＜（n+1）2，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，即可求出最长的边长．
【解析】
设△ABC的三边a，b及c分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，则有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）2=（n-1）2+n2-2n（n-1）•cosC＞（n-1）2+n2，
即（n-1）2+n2＜（n+1）2⇒n2-4n＜0⇒0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，
综上，最长的边长为4．
故答案为：4