Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（1）=-2，试问在-3≤x≤3，f（x）是否有最值？如果有，求出最值，如果没有，说出理由．

Answer

（1）赋值：先取y=0，得f（0）=0，再取y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，从而得到f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是R上的奇函数；
（2）根据单调性的定义，先设设x1＜x2，得x2-x1＞0，结合已知条件得到f（x2-x1）＜0，再利用已知条件的等式，可以证明出f（x1）＞f（x2），可得f（x）是R上的减函数；
（3）根据f（1）=-2，利用赋值法可得f（3）=-6，结合函数为奇函数得到f（-3）=6．然后根据函数在[=3，3]上是减函数，可得f（x）是有最大值为f（-3）=6，最小值为f（3）=-6．
【解析】
（1）∵对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴取y=0，得f（x+0）=f（x）+f（0）⇒f（0）=0
再令y=-x，得f[x+（-x）]=f（0）=0
∵f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x），函数f（x）是R上的奇函数；
（2）设x1＜x2，得x2-x1＞0
∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x2-x1）＜0
∴f（x2-x1）=f（-x1+x2）=f（-x1）+f（x2）＜0
∴-f（x1）+f（x2）＜0⇒f（x1）＞f（x2）
由函数单调性的定义，可得f（x）是R上的减函数；
（3）∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=-6
∵函数f（x）是R上的奇函数
∴f（-3）=-f（3）=6
∵f（x）是R上的减函数
∴当-3≤x≤3时，f（3）≤f（x）≤f（-3），即-6≤f（x）≤6，
因此f（x）是有最大值为f（-3）=6，最小值为f（3）=-6．