Question

已知二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且该函数与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求不等式f（x）≤0的解集．

Answer

（1）先设出二次函数的解析式，由图象在y轴上截距为1，可求得c，再由被x轴截得的线段长为2和对称轴方程为可得关于a，b的两个关系式进而求解．
（2）按照一元二次不等式解法解出即可．
【解析】
设二次函数为：y=ax2+bx+c
∵图象与y轴交于点（0，1），
∴c=1
此时y=ax2+bx+1
∵f（-2+k）=f（-2-k）∴对称轴方程为x=-2
∴
∵被x轴截得的线段长为2，
|x2-x1|2=（x2+x1）2-4x1x2=8
即
∴a=，b=2
∴二次函数的解析式为y=x2+2x+1
（2）不等式f（x）≤0即为x2+2x+1≤0
由x2+2x+1=0得x=-2-或x=-2+
∴x2+2x+1≤0的解集为{x|-2-≤x≤-2+}