Question

已知（1-2x）⁷=a+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求
（Ⅰ）a+a₁+…+a₇的值
（Ⅱ）a+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（Ⅲ）各项二项式系数和．

Answer

（Ⅰ）在（1-2x）7=a+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，能求出a+a1+…+a7的值．
（Ⅱ）在（1-2x）7=a+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=-1，得a-a1+a2-a3+…+a6-a7=2187，令x=0，得a=1，由此能求出a+a2+a4+a6及a1+a3+a5+a7的值．
（Ⅲ）各项二项式系数和C7+C71+…+C77=27=128．
【解析】
（Ⅰ）令x=1，则a+a1+…+a7=-1，（2分）
（Ⅱ）令x=-1，则a-a1+a2-a3+…+a6-a7=2187，令x=0，则a=1，
于是a1+a2+a3+…+a7=-2，
a1+a3+a5=-1094，；（5分）
a+a2+a4+a6=1093．（8分）
（Ⅲ）各项二项式系数和C7+C71+…+C77=27=128．（12分）