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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,...

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有manfen5.com 满分网
(1)判断f (x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:manfen5.com 满分网
(3)若f (x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
(1)由单调性定义判断和证明; (2)由f(x)是奇函数和(1)的结论知f(x)在上[-1,1]是增函数,再利用定义的逆用求解; (3)先由(1)求得f(x)的最大值,再转化为关于a的不等式恒成立问题求解. 【解析】 (1)任取-1≤x1<x2≤1,则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= ∵-1≤x1<x2≤1,∴x1+(-x2)≠0, 由已知>0,又x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在[-1,1]上为增函数; (2)∵f(x)在[-1,1]上为增函数, 故有 (3)由(1)可知:f(x)在[-1,1]上是增函数, 且f(1)=1,故对x∈[-l,1],恒有f(x)≤1. 所以要使f(x)≤t2-2at+1,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 即要t2-2at+1≥1成立,故t2-2at≥0成立. 即g(a)=t2-2at对a∈[-1,1],g(a)≥0恒成立, 只需g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于零. 故 解得:t≤-2或t=0或t≥2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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