Question

设函数，其中a为非零常数，
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出导函数，当a=1时写出函数式，对函数求导，f′（x）＞0，得到f（x）在（1，+∞）上递增，得到函数的增区间．
（2）利用（1）的单调性，求出函数f（x）的极值，进一步求出函数的最值，得到参数a的范围．
【解析】
（1）∵函数，其中a为非零常数，
当a=1时，f（x）=
＞0，
∴当x＞1时，函数是一个增函数，
即函数的递增区间是（1，+∞）
（2）当x属于[1，2]，lnx＞0，
当a＞0时，命题可转化为对于任意x属于[1，2]，都有
令g（x）=，对函数求导得=0
∴x=时，导数等于零，
经验证这是函数的极小值，
在这个闭区间上也是最小值，
∴g（x）的最小值是g（）=e-3
即当a为大于0常数且小于e-3时，不等式f（x）＞2恒成立，
当a＜0时，在x属于[1，2]时，不合题意．
综上可知a的取值范围是（0，e-3）