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设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1且对于任意正整数n,点(an+1,Sn)...

设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1且对于任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足:bn=nan,Tn为数列{bn}的前n项和,求证:当n≥2时,Tn<4.
(1)根据点在直线上则Sn=2-2an+1,根据递推关系可得n≥2时,Sn-1=2-2an,两式作差,可得数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,从而通项公式; (2)根据数列{bn}的特征,利用错位相消法求出其前n项和Tn,然后化简整理可证得结论,当n≥2时,Tn<4. (本小题满分12分) 【解析】 (1)点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上 ∴2an+1+Sn-2=0即∴Sn=2-2an+1    ① 当n≥2时,∴Sn-1=2-2an     ②…(3分) 由①-②可得:an=2an+1∴(n≥2)又a1=1,a2=符合上式 数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列 ∴                  …(6分) (2)由(1)知bn=nan= ∴Tn=1+2+3+4+…+     …③ ∴Tn=+2+3+4+…+    …④ 由③-④得∴…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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