Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（Ⅰ）求棱A₁A的长；
（Ⅱ）自行连接BD，证明：平面A₁BC₁⊥平面BDD₁．

Answer

（Ⅰ）设A1A=h，已知几何体ABCD-A1C1D1的体积为，利用等体积法VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，进行求解．
 （Ⅱ）根据题意四边形ABCD是正方形，可知AC⊥BD，根据D1D⊥平面ABCD，可知AC⊥平面D1DC，由A1C1∥AC，可得A1C1⊥平面D1DC．从而可证平面A1BC1⊥平面BDD1．
【解析】
（Ⅰ）设A1A=h，
∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为，
∴，
即，
即，解得h=4．
∴A1A的长为4．
证明：（Ⅱ）如图，连接AC、BD1
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，
∴A1C1∥AC．
∴四边形ABCD是正方形．
∴AC⊥BD；
∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥D1D又AC与BD相交
∴AC⊥平面D1DC．   由A1C1∥AC．
∴A1C1⊥平面D1DC．A1C1⊂平面A1BC1
∴平面A1BC1⊥平面BDD1．