Question

设函数f_n（x）=C_n²+C_n³x+C_n⁴x²+…+C_nⁿx^n-2（n∈N，n≥2），当x＞-1，且x≠0时，证明：f_n（x）＞0恒成立．

Answer

要证fn（x）＞0恒成立，因为x＞-1，且x≠0，所以只需证（1+x）n＞1+nx，再用数学归纳法进行证明．
证明：要证fn（x）＞0恒成立，∵x＞-1，且x≠0，∴只需证cn+cn1•x+cn2•x2+…+cnnxn＞1+nx，即证Cn2+Cn3x+Cn4x2+…+Cnnxn-2（（1+x）n＞1+nx
①当n=2时，显然成立．
②设当n=k时成立，即 （1+x）k ＞1+kx
则当n=k+1时有，（1+x）k+1=（1+x）k •（1+x）＞=（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x
也成立．
 所以对任意nn∈N，n≥2，（1+x）n＞1+nx成立，即fn（x）＞0恒成立．