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已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. ...

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(I)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(Ⅱ)设有且仅有一个实数x,使得f(x)=x,求函数f(x)的解析表达式.
(I)由题意知f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,f(1)=1,由上此可推出f(a)=a. (II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x,使得f(x)=x 所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x,因为f(x)=x,所以x-x2=0,故x=0或x=1.由此可推导出f(x)=x2-x+1(x∈R). 【解析】 (I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2 又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即f(1)=1 若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a. (II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 又因为有且只有一个实数x,使得f(x)=x 所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x 在上式中令x=x,有f(x)-x2+x=x 又因为f(x)=x,所以x-x2=0,故x=0或x=1 若x=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x 但方程x2-x=x有两个不相同实根,与题设条件矛盾.故x≠0 若x=1,则有f(x)-x2+x=1,即f(x)=x2-x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为f(x)=x2-x+1(x∈R)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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