Question

设二次函数f（x）=-x²+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）试比较f（0）•f（1）-f（0）与的大小，并说明理由．

Answer

解法一：（1）利用二次函数根的分布的知识进行转化，得到参数a的方程组或不等式组，求解方程或解不等式．
（2）求出f（0）•f（1）-f（0）的关于参数a的表达式，然后利用（1）中解出的a的取值范围，求出f（0）•f（1）-f（0）的取值范围，与比较．
解法二：基本与解一同，在对第二问大小的比较上，求出用了作差法，（1）中求出的是值域，用函数值的最大值与之比较．
解法三：第一小题中用的是根系关系转化为关于参数a的不等式，然后解不等式，第二题中通过根与系数的关系构造不等式，利用基本不等式求解．
【解析】
法1：（Ⅰ）令g（x）=f（x）-x=x2+（a-1）x+a，
则由题意可得．
故所求实数a的取值范围是．
（II）f（0）•f（1）-f（0）=2a2，令h（a）=2a2．
∵当a＞0时，h（a）单调增加，
∴当时，=
即．
法2：（I）同解法1．
（II）∵f（0）f（1）-f（0）=2a2，由（I）知，
∴．又，于是，
即，故．
法3：（I）方程f（x）-x=0⇔x2+（a-1）x+a=0，由韦达定理得x1+x2=1-a，x1x2=a，于是．
故所求实数a的取值范围是．
（II）依题意可设g（x）=（x-x1）（x-x2），则由0＜x1＜x2＜1，
得f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=x1x2（1-x1）（1-x2）=[x1（1-x1）][x2（1-x2）]，故．