Question

在△ABC中，有下列命题：
①A＞B的充要条件为sinA＞sinB；          ②A＜B的充要条件为cosA＞cosB；
③若A，B为锐角，则sinA+sinB＞cosA+cosB；   ④tantan为常数．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由题意，可借助三角函数的相关公式对四个命题 真假性作出判断
①命题判断可分两类，角A是钝角与不是钝角两类证明；②命题可由余弦函数在（0，π）上是减函数得出命题是真命题；③命题可由角C的取值未定，无法得了A，B两角和的范围，真假性无法判断；④命题可由两角和为，故两角正切值互为倒数作出判断
【解析】
在△ABC中，
①A＞B的充要条件为sinA＞sinB；此是一个真命题，若A＞B，当A不超过90°时，显然可得出sinA＞sinB，当A是钝角时，由于＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，即 A＞B是sinA＞sinB的充分条件，当sinA＞sinB时，亦可得 A＞B，由此知 A＞B的充要条件为sinA＞sinB       
②A＜B的充要条件为cosA＞cosB；上命题是真命题，由于余弦函数在（0，π）上是减函数，故A＜B的充要条件为cosA＞cosB；
③若A，B为锐角，则sinA+sinB＞cosA+cosB；此命题是假命题，由于角C的范围不确定，无法判断sinA+sinB＞cosA+cosB是否成立；
④tantan为常数，此命题正确，由于+=，可得tantan为常数
综上知①②④是正确命题
故选C