Question

已知函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：2＜α＜4＜β；
（3）若函数g（x）=log_aa（x-1）-，x∈[α，β]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer

（1）由已知中f（x）在[α，β]上为减函数函数f（x）=的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β-1），logaa（α-1）]，我们可得，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α＞2，同理β＞2，故关于x的方程在（2，+∞）内有二不等实根α、β．由此构造关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围；
（2）令Φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），我们易得Φ（2）•Φ（4）＜0，进而根据零点存在定理，结合（1）中的结论，得到答案；
（3）由已知中函数g（x）=logaa（x-1）-，x∈[α，β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M=g（4）=loga9+1，结合（1）中a的取值范围，即可得到答案．
解．（1）按题意，得．
∴即 α＞2．                                      （3分）
又
∴关于x的方程．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．
⇔关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．
．
故 ．             （6分）
（2）令Φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），
则Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    （10分）
（3）∵，

=．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＞0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故 M=g（4）=loga9+1=loga9a．                                    （12分）
∵，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．
若M≥1，则9a=aM．
∴9=aM-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．                                   （15分）