设函数f（x）=x-aex-1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x...

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

（I）对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．（II）这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a≤0时，f（x）≤0不恒成立，又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，求出a的范围．【解析】（I）f′（x）=1-aex-1 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，令f′（x）=0得x=1-lna 若x＜1-lna，则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（-∞，1-lna）上是增函数；若x＞1-lna，，则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（1-lna，+∞上是减函数．（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立又当a＞0时，f（x）在点x=1-lna处取最大值，且f（1-lna）=1-lna-ae-lna=-lna 令-lna＜0得a≥1 故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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