Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，侧面A₁ABB₁是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A₁AB=60°，E、F分别是AB₁、BC的中点．
（1）求证EF∥平面A₁ACC₁；
（2）求EF与侧面A₁ABB₁所成的角．

Answer

（1）由题意可得：E是A1B中点．连A1C，所以EF∥A1C．再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG，可得FG⊥平面A1ABB1，即可得到∠FEG是EF与平面A1ABB1所成的角，再在△EFG中利用解三角形的有关知识解决问题即可．
【解析】
（1）证明：∵A1ABB1是菱形，E是AB1中点，
∴E是A1B中点．
连A1C，
∵F是BC中点，
∴EF∥A1C．
∵A1C⊂平面A1ACC1，EF⊄平面A1ACC1，
∴EF∥平面A1ACC1…（4分）
（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG，
∵侧面A1ABB1⊥平面ABC且交线是AB，
∴FG⊥平面A1ABB1，
∴∠FEG是EF与平面A1ABB1所成的角
由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得
由AA1=AB=a，∠A1AB=60°，得
∴，
∴∠FEG=30°
所以EF与侧面A1ABB1所成的角为30°．