Question

对任意正整数n，定义n的双阶乘n！！如下：当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1；
现有四个命题：①（2009!!）（2008!!）=2009!，②2008!!=2×1004!，③2008！！个位数为0，④2009！！个位数为5．其中正确的序号为    ．

Answer

根据题意定义n的双阶乘n！！，可知当n为偶数时，n!=n（n-2）（n-4）…6×4×2；当n为奇数时，n（n-2）（n-4）…5×3×1，根据这些定义来验证命题①②③④四个命题．
【解析】
①：（2009!!）（2008!!）=（2009×2007×2005×…×3×1）（2008×2006×…×4×2）=2009×2008×2007×…×2×1=2009!，故①正确；
②2008!!=2008×2006×2004×…×4×2=21004×（1•2•3•4…1004）=21004×1004!
∴2008!!≠2×1004!，
故②错误；
③∵2008！！=2008×2006×…10×8×4×2，有一个因式为10，则2008！！个位数为0，故选③；
④∵2009！！=2009×2007×2005×…×3×1=5×（2009×2007×2005×…×7×3×1），可知2009！！个位数为5，故④正确；
故答案为①③④．