Question

已知R上的可导函数f（x）和g（x），当x＞1时f′（x）＞g′（x），当x＜1时f′（x）＜g′（x），则必有（ ）
A．f（2）-f（1）＞g（2）-g（1）
B．f（2）+f（1）＞g（2）+g（1）
C．f（2）-f（1）＜g（2）-g（1）
D．f（2）+f（1）＜g（2）+g（1）

Answer

构造新函数h（x）=f（x）-g（x），则函数h（x）为R上的可导函数，根据当x＞1时，f′（x）＞g′（x），当x＜1时，f′（x）＜g′（x），可知当x＞1时，h′（x）＞0，当x＜1时，h′（x）＜0，即函数h（x）=f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（-∞，1），从而有h（1）＜h（2），故可得解．
【解析】
由题意，构造新函数h（x）=f（x）-g（x）
∵当x＞1时，f′（x）＞g′（x），当x＜1时，f′（x）＜g′（x），
∴当x＞1时，h′（x）＞0，当x＜1时，h′（x）＜0
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（-∞，1）
∴h（1）＜h（2）
∴f（1）-g（1）＜f（2）-g（2）
∴f（2）-f（1）＞g（2）-g（1）
故选A．