(1)连A1D、B1C,由正方体性质,AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1证出AD1⊥平面A1DCB1,即可证出AD1⊥DM.
(2)在平面A1C1内过点M作MN∥B1C1,交D1C1于N,则∠MCN为CM与平面DC1所成角.在三角形MNC中求出.
(3)由于CC1∥平面D1DMC,将点C到平面D1DM的距离.转化成C1到平面D1DM的距离,作C1H⊥D1M于点H,证出C1H⊥平面D1DM,则C1H为所求距离.
【解析】
(1)证明:连A1D、B1C,由正方体性质,AD1⊥A1D,A1B1⊥AD1
∴AD1⊥平面A1DCB1
DM⊂平面A1DCB1,∴AD1⊥DM
(2)在平面A1C1内过点M作MN∥B1C1,交D1C1于N,
则MN⊥平面DC1,连NC.
则∠MCN为CM与平面DC1所成角 …(6分)
∵MN=B1C1=6,MC==9
∴sin∠MCN==,即所求正弦值为.…(8分)
(3)连C1M,作C1H⊥D1M于点H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∵CC1∥D1D
D1D⊂平面D1DM
CC1⊄平面D1DM
∴CC1∥平面D1DM
连C1M,作C1H⊥D1M于点H,∵DD1⊥平面A1C1∴D1D⊥C1H
∴C1H⊥平面D1DM,C1H为C1到平面D1DM的距离即 C到平面D1DM的距离为C1H…(10分)
∵C1H•D1M=S△D1C1M=18,而D1M==
∴C1H=
∴C到平面D1DM的距离为…(12分)