Question

设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

Answer

当PF2⊥x轴时，求出P的纵坐标，即得|PF2|的值，由椭圆的定义求得|PF1|，进而求得   的值．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|=m，由椭圆的定义求得|PF1|，由勾股定理可解得m，进而求得   的值．
【解析】
由题意得 a=3，b=2，c=，F1（-，0），F2 （，0）．
当PF2⊥x轴时，P的横坐标为，其纵坐标为±，∴===．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|=m，则|PF1|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c2=m2+（6-m）2，即  20=2 m2-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故  ==2．
综上，的值等于 或2．