Question

已知函数且a＞0
（Ⅰ）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，求实数a的值．
（Ⅱ）若x∈（0，2]，求函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）设函数，若f（x）与g（x）的图象在区间（1，e²）上有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，可求出此点处的导数，令导数为1即可解出实数a的值；
（Ⅱ）可利用导数研究函数在（0，2]的单调性，确定出函数f（x）的最小值，即可求出函数的最小值；
（Ⅲ）设函数，f（x）与g（x）的图象在区间（1，e2）上有两个不同的交点，即h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0）有两个零点，故可利用导数研究出函数的单调性，找出函数h（x）有两个零点的条件，由此条件解出实数a的取值范围；
解（Ⅰ）（2分）
依题意f′（1）=a-1=1
故a=2（3分）
（Ⅱ）
当时，f′（x）＜0，即f（x）在上单调递减
当时，f′（x）＞0，即f（x）在上单调递增 （4分）
（1）当，即时，
可知f（x）在（0，2]是减函数，
故 x=2时 f（x）min=
（2）当＜2，即a＞时，
可知f（x）在递减，在递增，故时 f（x）min=．
综上所述，当时，f（x）min=；a＞时，f（x）min=．
（8分）
（Ⅲ）设h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx（x＞0），
则 
令h′（x）=0，得
由h′（x）＜0，得，所以h（x）的减区间；
由h′（x）＞0，得，所以h（x）的增区间．
所以当，h（x）取极小值且．
f（x）与 g（x）的图象在（1，e2）上
有两个不同的交点等价于h（x）在（1，e2）上有两个不同零点．
故只需，解得
故实数a的取值范围是．（12分）