Question

在数列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）令n=1可得2b1=a1+a2，a22=b1b2，代入条件求出a2，b2，同理令n=2，3即可求得a3，a4和b2，b3，b4
（2）由（1）猜想：，．再利用数学归纳法证明即得；
（3）通过分析法先分析，欲证即证，下面用数学归纳法证明．
【解析】
（1）令n=1可得2b1=a1+a2，a22=b1b2，代入条件得：
，解得a2=3，，
同理得a3=6，b3=8，a4=10，．（4分）
（2）猜想：，．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，
当n=k+1时，ak+1=2bk-ak==bk+1=
所以当n=k+1时，结论也成立
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，，bn=都成立．（8分）
（3）欲证
即证
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=，右=，不等式显然成立
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时
而=
所以
即
则n=k+1时不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有
亦即．（12分）