Question

求证：3²ⁿ⁺²-8n-9（n∈N^*）能被64整除．

Answer

本题和正整数有关，可以利用数学归纳法来证明，当n=1时，式子32n+2-8n-9=34-8-9=64能被64整除，命题成立，再假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除，得到当n=k+1时，命题也成立．
【解析】
（1）当n=1时，式子32n+2-8n-9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．…2分
（2）假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．       …4分
当n=k+1时，
32k+4-8（k+1）-9
=9[32k+2-8k-9]+64k+64
=9[32k+2-8k-9]+64（k+1）…8分
因 为32k+2-8k-9能够被64整除，
∴9[32k+2-8k-9]+64（k+1）能够被64整除．                     …10分
即当n=k+1时，命题也成立．
由（1）（2）可知，32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除．…12分