(法一)(I)由a1结合递推公式可求a2,a3,a4,代入求b1,b2,b3,b4
(II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列为等比数列,进而可求bn,结合⇒,从而猜想得以证明,代入求出an•bn,进而求出前n和sn
(法二)(I)代入递推公式可得,代入可求b1,b2,b3,b4
(II)利用(I)中的递推关系个构造数列为等比数列,从而可求bn,sn
(法三)(I)同法一
(II)先由(I)中求出的b1,b2,b3,b4的值,观察规律可猜想数列bn+1-bn为等比数列,仿照法一再证明猜想,根据求通项的方法求bn,进一步求sn
【解析】
法一:
(I)a1=1,故;,
故;,
故;,
故.
(II)因,
故猜想是首项为,公比q=2的等比数列.
因an≠2,(否则将an=2代入递推公式会导致矛盾)故.
因,
故确是公比为q=2的等比数列.
因,故,,
由得,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===
法二:
(Ⅰ)由得,代入递推关系8an+1an-16an+1+2an+5=0,
整理得,即,
由a1=1,有b1=2,所以.
(Ⅱ)由,
所以是首项为,公比q=2的等比数列,
故,即.
由,得,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===.
法三:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)猜想{bn+1-bn}是首项为,
公比q=2的等比数列,
又因an≠2,故.
因此=
;
=.
因是公比q=2的等比数列,,
从而bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=
=
=.
由得,
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn===.